Ανελαστικότητα Υλικού

Τα στοιχεία κατανεμημένης ανελαστικότητας χρησιμοποιούνται ευρέως σε εφαρμογές αντισεισμικής μηχανικής, είτε για ερευνητικούς είτε για επαγγελματικούς σκοπούς. Tα πλεονεκτήματά τους σε σχέση με τα απλούστερα μοντέλα συγκεντρωμένης πλαστικότητας (lumped-plasticity), μαζί με μια συνοπτική περιγραφή της ιστορικής τους εξέλιξης και συζήτηση των υφιστάμενων περιορισμών, μπορούν να βρεθούν στo Filippou and Fenves [2004] ή Fragiadakis and Papadrakakis [2008]. Εδώ απλώς σημειώνεται ότι τα στοιχεία κατανεμημένης πλαστικότητας δεν απαιτούν (όχι απαραίτητα ευθέως) βαθμονόμηση των εμπειρικών παραμέτρων απόκρισης έναντι της απόκρισης ενός πραγματικού ή ιδανικού πλαισιακού στοιχείου υπό ιδανικές συνθήκες φόρτισης, όπως απαιτείται για τα φαινομενολογικά μοντέλα συγκεντρωμένης πλαστικότητας. Στο SeismoBuild, χρησιμοποιείται η αποκαλούμενη μέθοδος ίνας για την προσομοίωση της συμπεριφοράς της διατομής, όπου κάθε διατομή χωρίζεται σε ίνες, καθεμία από τις οποίες συνδέεται με μία μονοαξονική σχέση τάσης-παραμόρφωσης. Τα εντατικά μεγέθη της διατομής των στοιχείων δοκού-υποστυλώματος λαμβάνονται στη συνέχεια μέσω της ολοκλήρωσης της μη γραμμικής μονοαξονικής απόκρισης τάσεως-παραμορφώσεως των ανεξάρτητων ινών (κατά προεπιλογή 150) στην οποία έχει υποδιαιρεθεί η διατομή (η διακριτοποίηση μιας τυπικής διατομής οπλισμένου σκυροδέματος απεικονίζεται, ως παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα). Αυτά τα μοντέλα διαθέτουν σημαντικά πλεονεκτήματα, τα οποία μπορούν να συνοψιστούν ως εξής: (i) καμία απαίτηση προηγούμενης ανάλυσης ροπών-καμπυλοτήτων των μελών, (ii) δεν είναι αναγκαία η εισαγωγή παραμέτρων για την υστερητική απόκριση του στοιχείου (καθώς καθορίζεται απευθείας από τα μοντέλα των υλικών), (iii) αυτόματη προσομοίωση της αλληλεπίδρασης αξονικής φόρτισης-ροπής κάμψης (τόσο  για την αντοχή όσο και για την ακαμψία) και (iv) άμεση αναπαράσταση της διαξονικής φόρτισης, και της αλληλεπίδρασης μεταξύ καμπτικής αντοχής στις δύο ορθογώνιες κατευθύνσεις.

Τα πλαισιακά στοιχεία κατανεμημένης πλαστικότητας, μπορούν να υλοποιηθούν με δύο διαφορετικές διατυπώσεις πεπερασμένων στοιχείων (FE): τα κλασικά με βάση τις μετατοπίσεις (Displacement-based, DB) [e.g. Hellesland and Scordelis 1981; Mari and Scordelis 1984], και οι πιο πρόσφατες διατυπώσεις με βάση τις δυνάμεις (Force-based, FB) [e.g. Spacone et al. 1996; Neuenhofer and Filippou 1997].

Στην προσέγγιση DB, επιβάλλεται το πεδίο μετατόπισης, ενώ στην FΒ, η ισορροπία του στοιχείου ικανοποιείται αυστηρώς και δεν τοποθετούνται περιορισμοί στην ανάπτυξη ανελαστικών παραμορφώσεων σε όλο το μέλος. Βλέπε π.χ. Alemdar and White [2005] και Freitas et al. [1999] για περαιτέρω επεξήγηση. Στην περίπτωση της DB, χρησιμοποιούνται συναρτήσεις σχήματος μετατόπισης, που αντιστοιχούν, για παράδειγμα, σε μια γραμμική μεταβολή της καμπυλότητας κατά μήκος του στοιχείου.

Αντιθέτως, σε μια προσέγγιση FB, επιβάλλεται μία γραμμική μεταβολή ροπής. Για τη συμπεριφορά του γραμμικού ελαστικού υλικού, οι δύο προσεγγίσεις προφανώς παράγουν τα ίδια αποτελέσματα, υπό την προϋπόθεση ότι μόνο οι δυνάμεις των κόμβων δρούν επί του στοιχείου. Αντιθέτως, σε περίπτωση ανελαστικότητας των υλικών, η επιβολή ενός πεδίου μετατόπισης δεν επιτρέπει την εκτίμηση του πραγματικού παραμορφωμένου σχήματος, καθώς το πεδίο καμπυλότητας μπορεί, σε γενικές περιπτώσεις, να είναι εξαιρετικά μη γραμμικό. Σε αυτή την περίπτωση, με μια προσέγγιση DB απαιτείται αυξημένη διακριτοποίηση του δομικού στοιχείου (τυπικά 4-5 στοιχεία ανά δομικό μέλος) για τον υπολογισμό των δυνάμεων/μετατοπίσεων των κόμβων, προκειμένου να γίνει αποδεκτή η παραδοχή ενός πεδίου γραμμικής καμπυλότητας μέσα σε κάθε στοιχείο. Επιπλέον, στην τελευταία περίπτωση οι χρήστες δεν συνιστάται να βασίζονται στις τιμές των υπολογισμένων καμπυλοτήτων διατομής και στις επιμέρους καταστάσεις τάσης-παραμόρφωσης. Αντ 'αυτού, μία προσέγγιση FB είναι πάντα ακριβής, αφού δεν εξαρτάται από την υποτιθέμενη συμπεριφορά της διατομής του μέλους. Όντως δεν περιορίζει με κανέναν τρόπο το πεδίο μετατόπισης του στοιχείου. Με αυτή την έννοια αυτή η διατύπωση μπορεί να θεωρείται ως "ακριβής" πάντα, η μοναδική προσέγγιση που εισάγεται είναι από τον διακριτό αριθμό των διατομών ελέγχου κατά μήκος του στοιχείου που χρησιμοποιούνται για την αριθμητική ολοκλήρωση. Απαιτούνται 4 διατομές ολοκλήρωσης Gauss-Lobatto για την αποφυγή της υπό-ολοκλήρωσης (under-integration), επιλογή που προσομοιώνει γενικά το φάσμα ελαστικότητας με αποδεκτό τρόπο. Ένα τέτοιο χαρακτηριστικό επιτρέπει την προσομοίωση κάθε δομικού στοιχείου με ένα μόνο στοιχείο FE, επιτρέποντας έτσι μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ δομικών μελών (δοκών και υποστυλωμάτων) και στοιχείων μοντέλου. Με άλλα λόγια, θεωρητικά δεν απαιτείται κατάτμηση εντός του μέλους, ακόμα κι αν η διατομή δεν είναι σταθερή. Αυτό συμβαίνει επειδή το πεδίο δυνάμεων είναι πάντα ακριβές, ανεξαρτήτως του επιπέδου ανελαστικότητας.

Force-Based Fibre Element

Στο SeismoBuild εφαρμόζονται και οι δύο προαναφερθείσες προσεγγίσεις στοιχείων DB και FB, με το FΒ συνήθως να συνιστάται, αφού όπως προαναφέρθηκε, γενικά δεν απαιτεί διακριτοποίηση στοιχείων, οδηγώντας έτσι σε πολύ μικρότερα μοντέλα, σε σχέση με όταν χρησιμοποιούνται στοιχεία DB, και επομένως πολύ ταχύτερες αναλύσεις, παρά τους πιο περίπλοκους υπολογισμούς ισορροπίας στοιχείου. Μια εξαίρεση από αυτόν τον κανόνα μη διακριτοποίησης, προκύπτει όταν αναμένονται ζητήματα τοπικότητας, οπότε απαιτούνται ειδικοί περιορισμοί/μέτρα, όπως συζητήθηκε στο Calabrese et al. [2010].

Τέλος, σημειώνεται ότι, για λόγους μεγαλύτερης ακρίβειας, χρησιμοποιείται ο τετραγωνισμός Lobatto (Lobatto quadrature). Οι κατά προσέγγιση συντεταγμένες κατά μήκος του στοιχείου των τμημάτων ολοκλήρωσης είναι για 4 τμήματα ολοκλήρωσης: : [-1  -0.447  0.447  1] xL/2.

Σημειώσεις

  1. Οι χρήστες καλούνται επίσης να διαβάσουν την NEHRP Seismic Design Technical Brief No. 4 (δηλ. Deierlein G.G., Reinhorn A.M., and Willford M.R. [2010]), στην οποία εξηγείται αναλυτικά η μη γραμμική προσομοίωση.
  2. Το ανελαστικό πλαισιακό στοιχείο μετακίνησης - infrmDB χρησιμοποιείται μόνο για μέλη μικρού μήκους, π.χ. για την προσομοίωση κοντών υποστυλωμάτων.